아이작 뉴턴(Issac Newton)은 1676년에 라이프니치에게 암호로 '함수를 미분하는 것과 미분방정식을 푸는 것은 유용하다'는 말을 보냈었다. 이 말의 진의를 반영해서 다시 번역하면 '자연을 기술하는 법칙은 미분방정식으로 표현할 수 있다'는 말을 뜻한다. 예를 들어서 용수철 상수가 $k$인 용수철에 질량이 $m$인 물체가 달려있고, 그 물체의 변위를 $x(t)$라 하자. 그러면 뉴턴의 제2법칙과 훅의 법칙에 의하여 이 변위는 \[ mx''=-kx \] 를 만족한다.

이 방정식을 만족하는 $x(t)$를 구하면, 이 물체의 위치를 시간정보를 대입하면 미래에 물체가 어디에 놓이게 될지 알 수 있다. 이러한 면에서 미분방정식을 푸는 건 미래를 예측할 수 있다는 점에서 유용하다. 이후에는 많은 물리학자들은 다양한 역학문제에 적용할 수 있는 기법들이 개발했다.

1755년에 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 이상적인 유체의 운동을 기술하는 방정식을 처음으로 유도했다. 그러나 오일러의 모델은 입자간의 마찰로 인해 발생하는 여러 효과를 무시했기 때문에, 현실에 존재하는 유체의 운동을 기술하기에는 다소 제한적이었다.

그 후에 1882년에 공학자 클라우데-루이스 나비에(Claude-Louis Navier)가 현실 유체에서 일어나는 문제들을 반영하기 위해 새로운 모델을 도입을 했다. 그 후에 조지 가브리엘 스토크스 (George Gabriel Stokes)가 1845년에 보다 나비에의 모델을 수학적으로 유도를 했다. 이 두 사람의 이름을 따서 현재 이 방정식을 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)이라 부른다. 현재 이 모델은 유체로 인해 생기는 영향들을 고려해야 하는 많은 공학 문제뿐만 아니라 수학자들에게도 많은 관심을 갖고 있는 방정식이다.

방정식이 유래된 이래로 많은 수학자들은 나비에-스토크스 방정식의 초기값 문제의 수학적인 이론을 건설하는 것을 연구했다. 첫 번째 시도로 카를 오쉰(Carl Wilhelm Oseen)은 1927년에 나비에-스토크스의 방정식의 해가 매우 짧은 시간동안 해가 존재한다는 것을 보였다. 또한 해당 논문에서 오쉰은 나비에-스토크스 방정식의 해를 연구할 때 이전에 나비에가 가정한 ‘이계도함수가 유계’라는 것은 자연스러운 가정은 아니라는 것을 지적했으며, 처음으로 적분방정식으로 문제를 바꾸어 원함수와 일계도함수만 포함한 식으로 표현하는 방법을 찾았다. 이후에 1934년에 장 르레이(Jean Leray)는 오쉰의 관찰에서 동기부여를 받아 ‘난류해(turbulent solution)’라는 개념을 정의하고, 2차원과 3차원에서 나비에-스톡스 방정식에서의 대역적 난류해의 존재성을 처음으로 보였다. 현대에는 르레이가 건설한 이 난류해를 ‘르레이-호프 약해(Leray-Hopf weak solution)’라고 부른다. 그리고 해당 논문에서 르레이는 나비에-스토크스 방정식이 가질 수 있는 해들의 여러가지 성질에 대한 탐구를 했다. 르레이는 나비에-스토크스 방정식의 난류해의 존재성을 보였지만, 유일성에 대해서는 어떠한 종류의 답을 내지 못했다. 2차원의 경우에는 1959년에 올가 라디젠스카야(Olga Ladyzhenskaya)가 나비에-스토크스 방정식의 대역적 강해의 존재성과 유일성을 보였다. 반면에 3차원의 경우에는 해의 유일성에 대해서는 어떠한 답을 하지 못했다.

부분적으로 3차원의 경우에는 Serrin (1962), Prodi (1959)을 비롯하여 3차원에서 나비에-스토크스 방정식의 난류해에 추가적인 가정을 주었을 때 해의 정칙성을 보였다. 추후에 셰퍼(Scheffer)는 나비에-스토크스 방정식의 해가 가지고 있는 비정칙성을 담고 있는 집합에 대한 연구를 처음 시작했으며, 이는 1982년에 Caffarelli, Kohn, Nirenberg에 의해 일반화되었다. 이 이후에 많은 수학자들이 수 많은 결과들을 증명하며 이론들을 발전시켰으나, 2차원과 달리 3차원에서 나비에-스토크스 방정식의 해의 성질에 대한 연구는 충분한 진전을 보이지 못했다. 이러한 배경에서 2000년대에 클레이 연구소에서는 나비에-스토크스 방정식의 해의 성질에 대한 근본적인 문제를 해결할 것을 요구했다. 더 구체적으로 설명한다면, 유한시간 안에 폭발하는 국소적인 강해의 존재성을 보이거나 아니면 대역적으로 정의된 강해의 존재성을 보이는 것이다. 여기에 덧붙여 클레이 연구소에서 제시한 난제는 아니지만, 특수한 경우의 경계치 문제를 제외하고는 3차원에서 나비에-스토크스 방정식의 르레이-호프 약해의 유일성에 대한 질문은 해결되지 않은 난제로 남아있었다.

2015년부터 하오 지아(Hao Jia)와 블라드미르 스베락(Vladimir Sverak)은 3차원에서 나비에-스토크스 방정식의 약해가 유일하지 않음을 보이는 전략을 제시했고, 이후에 2017년에 줄리앙 기요드(Julien Guillod)와 스베락은 수치해석적인 증거를 제시하며 앞서 연구한 전략이 꽤나 성공적일 수 있다는 걸 제시했다.

다른 방법으로는 2019년에 트리스탄 벅마스터(Tristan Buckmaster)와 블라드 비콜(Vlad Vicol)은 나비에-스토크스 방정식의 약해(distributional solution)의 비유일성을 증명했다. 그러나 이 약해는 르레이-호프 약해 조건을 만족한다는 걸 기대하기 힘들다는 점에서 다소 아쉬운 결과였다. 크게 벅마스터-비콜이 적용한 볼록적분법(convex integration scheme)을 이용하여 다른 여러 수학자들이 관련된 유체방정식의 해에 대한 연구를 진행했고, 소중한 결과들을 많이 얻었으나 정칙성의 측면에서는 다소 아쉬운 해가 건설되었다.

2022년에 달라스 알브리턴(Dallas Albritton), 엘라 브루에(Elia Brue), 마리아 콜롬보(Maria Colombo)는 지아와 스베락이 제시한 프로그램을 따라서 외부력이 있는 나비에-스토크스 방정식에서 어떤 외부력에 한해서는 르레이-호프 약해가 유일하지 않다는 것을 증명했다. 이는 3차원에서 르레이-호프 약해가 유일하지 않다는 것을 보인 첫 번째 논문이다. 증명방법은 미샤 비식(Misha Vishik)이 오일러 방정식에서 얻은 비자명한 결과를 증명하기 위한 기술을 나비에-스토크스 방정식에서도 유사하게 적용함으로서 얻었다.

글쓴이는 시간이 된다면 이 세 사람은 이런 비자명한 결과를 어떻게 증명했는지 한글 문서로 남기고자 한다. 다만 이 과정에서 글쓴이도 공부해야 하는 것이 많기 때문에 상당히 비정기적으로 연재를 할 듯 싶다.